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Rigidity Modulus of The Suspension Wire of A Torsion Pendulum
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Aim:

 

To determine the rigidity modulus of the suspension wire using torsion pendulum.

 

Apparatus:

 

The given torsion pendulum, two identical cyllindrical masses, stop watch, metre scale, etc.

 

Theory:

 

  What is Torsional Oscillation?

 

A body suspended by a thread or wire which twists first in one direction and then in the reverse direction, in the horizontal plane is called a torsional pendulum.The first torsion pendulum was developed by Robert Leslie in 1793.

 

A simple schematic representation of a torsion pendulum is given below,

               

 

The period of oscillation of torsion pendulum is given as,

 

                                                                           «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»T«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»§#960;«/mi»«msqrt»«mfrac»«mi»I«/mi»«mi»C«/mi»«/mfrac»«/msqrt»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/math»

Where   I=moment of inertia of the suspended body; C=couple/unit twist 

 

But we have an expression for  couple per unit twist C as,

                                                                          «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»C«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mfrac»«mrow»«mi»§#960;«/mi»«mi»n«/mi»«msup»«mi»r«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«/mrow»«mi»l«/mi»«/mfrac»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mfenced close=¨]¨ open=¨[¨»«mn»2«/mn»«/mfenced»«/math» 

Where   l =length of the suspension wire; r=radius of the wire; n=rigidity modulus of  the suspension wire

 

Substituting (2) in (1) and squaring,we get an expression for rigidity modulus for the suspension wire as,

                                                                            «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»n«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»§#960;«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»I«/mi»«mi»l«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»r«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«msup»«mi»T«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»§nbsp;«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo»(«/mo»«mi»A«/mi»«mo»)«/mo»«/math»

We can use the above formula directly if we calculate the moment of inertia of the disc,I as (1/2)MR2.

 

Now,let I0  be the moment of inertia of the disc alone and I1 & I2 be the moment of inertia of the disc with identical masses at distances d1&d2 respectively.If  I1 is the moment of inertia of each identical mass about the vertical axis passing through its centre of gravity, then

 

                            «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨left¨ rowspacing=¨0¨»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»I«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«msub»«mi»I«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«msup»«mi»I«/mi»«mn»1«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»m«/mi»«msup»«msub»«mi»d«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mfenced»«mn»3«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»I«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«msub»«mi»I«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»I«/mi»«mn»1«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»m«/mi»«msup»«msub»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mfenced»«mn»4«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»I«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»-«/mo»«msub»«mi»I«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»m«/mi»«mo»(«/mo»«msup»«msub»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«msub»«mi»d«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»)«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mfenced»«mn»5«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«/math»

But from equation (1) ,

                                                                 «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨left¨ rowspacing=¨0¨»«mtr»«mtd»«msup»«msub»«mi»T«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»§#960;«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfrac»«msub»«mi»I«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«mi»C«/mi»«/mfrac»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mfenced»«mn»6«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«msub»«mi»T«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»§#960;«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfrac»«msub»«mi»I«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mi»C«/mi»«/mfrac»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mfenced»«mn»7«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«msub»«mi»T«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»§#960;«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfrac»«msub»«mi»I«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mi»C«/mi»«/mfrac»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mfenced»«mn»8«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«msub»«mi»T«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«msub»«mi»T«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mi»§#960;«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mi»C«/mi»«/mfrac»«mo»(«/mo»«msub»«mi»I«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»-«/mo»«msub»«mi»I«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»)«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mfenced»«mn»9«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Where T0,T1,T2 are the periods of torsional oscillation without identical mass,with identical pass at position d1,d2 respectively.

 

Dividing equation (6) by (9) and using (5),

                                                      «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«msup»«msub»«mi»T«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«msup»«msub»«mi»T«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«msub»«mi»T«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«msub»«mi»I«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«mfenced close=¨]¨ open=¨[¨»«mrow»«msub»«mi»I«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»-«/mo»«msub»«mi»I«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mrow»«/mfenced»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«msub»«mi»I«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»m«/mi»«mfenced»«mrow»«msup»«msub»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«msub»«mi»d«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mfenced»«mn»10«/mn»«/mfenced»«/math»

Therefore,The moment of inertia of the disc,

                                                        «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨left¨ rowspacing=¨0¨»«mtr»«mtd»«msub»«mi»I«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»m«/mi»«mfenced»«mrow»«msup»«msub»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«msub»«mi»d«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«msup»«msub»«mi»T«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«msup»«msub»«mi»T«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«msub»«mi»T«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mfrac»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mfenced»«mn»11«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«/math»

Now substituting equation (2) and (5) in (9),we get the expression for rigidity modulus 'n' as,

 

                                                          «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨normal¨»n«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»16«/mn»«mi»§#960;«/mi»«mi»m«/mi»«mfenced»«mrow»«msup»«msub»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«msub»«mi»d«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«msup»«mi»r«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«/mfrac»«mfenced»«mfrac»«mi»l«/mi»«mrow»«msup»«msub»«mi»T«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«msub»«mi»T«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mfenced»«mn»12«/mn»«/mfenced»«/math» 

 

 Applications of Torsional Pendulum:

 

1.The working of  " Torsion pendulum clocks " ( shortly torsion clocks or pendulum clocks), is based on torsional oscillation.

 

2.The freely decaying oscillation of  Torsion pendulum in medium(like polymers),helps to determine their characteristic properties.

 

3.New researches, promising the determination of frictional forces between solid surfaces and flowing liquid environments using forced torsion pendulums.

 

 

 

 

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