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Moment of inertia of a Torsion Pendulum
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Aim:

 

To determine the moment of inertia of the given disc using Torsion pendulum, with identical masses.  

 

Apparatus:

 

The given torsion pendulum, two identical cyllindrical masses, stop watch, metre scale, etc.

 

Theory:

 

  What is Torsional Oscillation? 

 

A body suspended by a thread or wire which twists first in one direction and then in the reverse direction, in the horizontal plane is called a torsional pendulum.The first torsion pendulum was developed by Robert Leslie in 1793.

 

A simple schematic representation of a torsion pendulum is given below,

               

 

The period of oscillation of torsion pendulum is given as,

 

                                                                           «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»T«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»§#960;«/mi»«msqrt»«mfrac»«mi»I«/mi»«mi»C«/mi»«/mfrac»«/msqrt»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/math»

Where   I=moment of inertia of the suspended body; C=couple/unit twist 

 

But we have an expression for  couple per unit twist C as,

                                                                          «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»C«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mfrac»«mrow»«mi»§#960;«/mi»«mi»n«/mi»«msup»«mi»r«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«/mrow»«mi»l«/mi»«/mfrac»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mfenced close=¨]¨ open=¨[¨»«mn»2«/mn»«/mfenced»«/math» 

Where   l =length of the suspension wire; r=radius of the wire; n=rigidity modulus of  the suspension wire

 

Substituting (2) in (1) and squaring,we get an expression for rigidity modulus for the suspension wire as,

                                                                            «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»n«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»§#960;«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»I«/mi»«mi»l«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»r«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«msup»«mi»T«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»§nbsp;«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo»(«/mo»«mi»A«/mi»«mo»)«/mo»«/math»

We can use the above formula directly if we calculate the moment of inertia of the disc,I as (1/2)MR2.

 

Now, let I0  be the moment of inertia of the disc alone and I1 & I2 be the moment of inertia of the disc with identical masses at distances d1&d2 respectively.If  I1 is the moment of inertia of each identical mass about the vertical axis passing through its centre of gravity, then

 

                            «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨left¨ rowspacing=¨0¨»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»I«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«msub»«mi»I«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«msup»«mi»I«/mi»«mn»1«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»m«/mi»«msup»«msub»«mi»d«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mfenced»«mn»3«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»I«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«msub»«mi»I«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»I«/mi»«mn»1«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»m«/mi»«msup»«msub»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mfenced»«mn»4«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»I«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»-«/mo»«msub»«mi»I«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»m«/mi»«mo»(«/mo»«msup»«msub»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«msub»«mi»d«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»)«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mfenced»«mn»5«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«/math»

But from equation (1) ,

                                                                 «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨left¨ rowspacing=¨0¨»«mtr»«mtd»«msup»«msub»«mi»T«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»§#960;«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfrac»«msub»«mi»I«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«mi»C«/mi»«/mfrac»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mfenced»«mn»6«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«msub»«mi»T«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»§#960;«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfrac»«msub»«mi»I«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mi»C«/mi»«/mfrac»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mfenced»«mn»7«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«msub»«mi»T«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»§#960;«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfrac»«msub»«mi»I«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mi»C«/mi»«/mfrac»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mfenced»«mn»8«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«msub»«mi»T«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«msub»«mi»T«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mi»§#960;«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mi»C«/mi»«/mfrac»«mo»(«/mo»«msub»«mi»I«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»-«/mo»«msub»«mi»I«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»)«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mfenced»«mn»9«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Where T0,T1,T2 are the periods of torsional oscillation without identical mass,with identical pass at position d1,d2 respectively.

 

Dividing equation (6) by (9) and using (5),

                                                      «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«msup»«msub»«mi»T«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«msup»«msub»«mi»T«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«msub»«mi»T«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«msub»«mi»I«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«mfenced close=¨]¨ open=¨[¨»«mrow»«msub»«mi»I«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»-«/mo»«msub»«mi»I«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mrow»«/mfenced»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«msub»«mi»I«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»m«/mi»«mfenced»«mrow»«msup»«msub»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«msub»«mi»d«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mfenced»«mn»10«/mn»«/mfenced»«/math»

Therefore, the moment of inertia of the disc,

                                                        «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨left¨ rowspacing=¨0¨»«mtr»«mtd»«msub»«mi»I«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»m«/mi»«mfenced»«mrow»«msup»«msub»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«msub»«mi»d«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«msup»«msub»«mi»T«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«msup»«msub»«mi»T«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«msub»«mi»T«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mfrac»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mfenced»«mn»11«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«/math»

 

 

 

 

 

 

 

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