![](images/video-torsion.jpg)
Aim:
To determine the moment of inertia of the given disc using Torsion pendulum, with identical masses.
Apparatus:
The given torsion pendulum, two identical cyllindrical masses, stop watch, metre scale, etc.
Theory:
What is Torsional Oscillation?
A body suspended by a thread or wire which twists first in one direction and then in the reverse direction, in the horizontal plane is called a torsional pendulum.The first torsion pendulum was developed by Robert Leslie in 1793.
A simple schematic representation of a torsion pendulum is given below,
![](http://vlab.amrita.edu/userfiles/1/image/torsion%281%29.jpg)
The period of oscillation of torsion pendulum is given as,
![Double click to edit «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»T«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»§#960;«/mi»«msqrt»«mfrac»«mi»I«/mi»«mi»C«/mi»«/mfrac»«/msqrt»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/math»](http://vlab.amrita.edu/fckeditor/editor/plugins/fckeditor_wiris/integration/showimage.php?formula=c2aa8e158917b45b34c9dfc7c0741431.png)
Where I=moment of inertia of the suspended body; C=couple/unit twist
But we have an expression for couple per unit twist C as,
Where l =length of the suspension wire; r=radius of the wire; n=rigidity modulus of the suspension wire
Substituting (2) in (1) and squaring,we get an expression for rigidity modulus for the suspension wire as,
![Double click to edit «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»n«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»§#960;«/mi»«mi mathvariant=¨bold-italic¨»I«/mi»«mi»l«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»r«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«msup»«mi»T«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»§nbsp;«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo»(«/mo»«mi»A«/mi»«mo»)«/mo»«/math»](http://vlab.amrita.edu/fckeditor/editor/plugins/fckeditor_wiris/integration/showimage.php?formula=abde05b0ac509e4c00885dffe0f9cfa5.png)
We can use the above formula directly if we calculate the moment of inertia of the disc,I as (1/2)MR2.
Now, let I0 be the moment of inertia of the disc alone and I1 & I2 be the moment of inertia of the disc with identical masses at distances d1&d2 respectively.If I1 is the moment of inertia of each identical mass about the vertical axis passing through its centre of gravity, then
![Double click to edit «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨left¨ rowspacing=¨0¨»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»I«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«msub»«mi»I«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«msup»«mi»I«/mi»«mn»1«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»m«/mi»«msup»«msub»«mi»d«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mfenced»«mn»3«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»I«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«msub»«mi»I«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»I«/mi»«mn»1«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»m«/mi»«msup»«msub»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mfenced»«mn»4«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»I«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»-«/mo»«msub»«mi»I«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»m«/mi»«mo»(«/mo»«msup»«msub»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«msub»«mi»d«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»)«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mfenced»«mn»5«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«/math»](http://vlab.amrita.edu/fckeditor/editor/plugins/fckeditor_wiris/integration/showimage.php?formula=fbea9906ea93570c6627ab65e9d5c8b0.png)
But from equation (1) ,
![Double click to edit «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨left¨ rowspacing=¨0¨»«mtr»«mtd»«msup»«msub»«mi»T«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»§#960;«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfrac»«msub»«mi»I«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«mi»C«/mi»«/mfrac»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mfenced»«mn»6«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«msub»«mi»T«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»§#960;«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfrac»«msub»«mi»I«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mi»C«/mi»«/mfrac»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mfenced»«mn»7«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«msub»«mi»T«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»§#960;«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfrac»«msub»«mi»I«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mi»C«/mi»«/mfrac»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mfenced»«mn»8«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«msub»«mi»T«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«msub»«mi»T«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mi»§#960;«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mi»C«/mi»«/mfrac»«mo»(«/mo»«msub»«mi»I«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»-«/mo»«msub»«mi»I«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»)«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mfenced»«mn»9«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»](http://vlab.amrita.edu/fckeditor/editor/plugins/fckeditor_wiris/integration/showimage.php?formula=18865a57861e209ccbb8cb1ffc3ec442.png)
Where T0,T1,T2 are the periods of torsional oscillation without identical mass,with identical pass at position d1,d2 respectively.
Dividing equation (6) by (9) and using (5),
![Double click to edit «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«msup»«msub»«mi»T«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«msup»«msub»«mi»T«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«msub»«mi»T«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«msub»«mi»I«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«mfenced close=¨]¨ open=¨[¨»«mrow»«msub»«mi»I«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»-«/mo»«msub»«mi»I«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mrow»«/mfenced»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«msub»«mi»I«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»m«/mi»«mfenced»«mrow»«msup»«msub»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«msub»«mi»d«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mfenced»«mn»10«/mn»«/mfenced»«/math»](http://vlab.amrita.edu/fckeditor/editor/plugins/fckeditor_wiris/integration/showimage.php?formula=03f484acad41c80a8602e81b449f292b.png)
Therefore, the moment of inertia of the disc,
![Double click to edit «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨left¨ rowspacing=¨0¨»«mtr»«mtd»«msub»«mi»I«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»m«/mi»«mfenced»«mrow»«msup»«msub»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«msub»«mi»d«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«msup»«msub»«mi»T«/mi»«mn»0«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«msup»«msub»«mi»T«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«msub»«mi»T«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mfrac»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mo».«/mo»«mfenced»«mn»11«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«/math»](http://vlab.amrita.edu/fckeditor/editor/plugins/fckeditor_wiris/integration/showimage.php?formula=e7c626e326366a7ae45e755c93213c23.png)